Головна > Бізнес процеси > MY adept дорожні нотатки. MY adept подорожні нотатки Знаходження області визначення


MY adept дорожні нотатки. MY adept подорожні нотатки Знаходження області визначення




Решник Кузнєцова.
III Графіки

Завдання 7. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.

        Перш ніж Ви почнете завантажувати свої варіанти, спробуйте вирішити завдання за зразком, наведеним нижче для варіанта 3. Частина варіантів заархівована у форматі.rar

        7.3 Провести повне дослідження функції та побудувати її графік

Рішення.

        1) Область визначення:         або        , тобто        .
.
Таким чином:         .

2) Точка перетину з віссю Ox немає. Справді, рівняння         не має рішень.
Крапок перетину з віссю Oy немає, оскільки        .

3) Функція ні парна, ні непарна. Симетрії щодо осі ординат немає. Симетрії щодо початку координат також немає. Так як
.
Бачимо, що                .

4) Функція безперервна в області визначення
.

; .

; .
Отже, точка         є точкою розриву другого роду (нескінченний розрив).

5) Вертикальні асимптоти:       

Знайдемо похилу асимптоту        . Тут

;
.
Отже, маємо горизонтальну асимптоту: y=0. Похилих асимптот немає.

6) Знайдемо першу похідну. Перша похідна:
.
І ось чому
.
Знайдемо стаціонарні точки, де похідна дорівнює нулю, тобто
.

7) Знайдемо другу похідну. Друга похідна:
.
І це легко переконається, оскільки

Якщо завдання необхідно провести повне дослідження функції f (x) = x 2 4 x 2 - 1 з побудовою його графіка, тоді розглянемо цей принцип докладно.

Для вирішення завдання даного типу слід використовувати властивості та графіки основних елементарних функцій. Алгоритм дослідження включає кроки:

Знаходження області визначення

Оскільки дослідження проводяться на області визначення функції, потрібно починати з цього кроку.

Приклад 1

Заданий приклад передбачає знаходження нулів знаменника у тому, щоб виключити їх із ОДЗ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; + ∞

В результаті можна отримати коріння, логарифми, і таке інше. Тоді ОДЗ можна шукати для кореня парного ступеня типу g (x) 4 за нерівністю g (x) ≥ 0 для логарифму log a g (x) за нерівністю g (x) > 0 .

Дослідження меж ОДЗ та знаходження вертикальних асимптот

На межах функції є вертикальні асимптоти, коли односторонні межі таких точках нескінченні.

Приклад 2

Наприклад розглянемо прикордонні точки, рівні x = ± 1 2 .

Тоді необхідно проводити дослідження функції для знаходження односторонньої межі. Тоді отримуємо, що: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (-2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) · 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) · 2 = + ∞

Звідси видно, що односторонні межі є нескінченними, отже, прямі x = ± 1 2 - вертикальні асимптоти графіка.

Дослідження функції та на парність чи непарність

Коли виконується умова y(-x) = y(x), функція вважається парною. Це свідчить, що графік розташовується симетрично щодо Про у. Коли виконується умова y(-x) = -y(x), функція вважається непарною. Отже, симетрія йде щодо початку координат. При невиконанні хоча б однієї нерівності отримуємо функцію загального виду.

Виконання рівності y(-x) = y(x) говорить про те, що функція парна. При побудові необхідно врахувати, що буде симетричність щодо У.

Для вирішеннянерівності застосовуються проміжки зростання та спадання з умовами f "(x) ≥ 0 і f "(x) ≤ 0 відповідно.

Визначення 1

Стаціонарні точки- Це такі точки, які звертають похідну в нуль.

Критичні точки- це внутрішні точки з області визначення, де похідна функції дорівнює нулю чи немає.

При вирішенні необхідно враховувати такі зауваження:

  • при наявних проміжках зростання та спадання нерівності виду f "(x) > 0 критичні точки до рішення не включаються;
  • точки, в яких функція визначена без кінцевої похідної, необхідно включати в проміжки зростання та спадання (наприклад, y = x 3 , де точка х = 0 робить функцію певною, похідна має значення нескінченності у цій точці, y " = 1 3 · x 2 3 , y "(0) = 10 = ∞, х = 0 включається в проміжок зростання);
  • щоб уникнути розбіжностей, рекомендовано користуватися математичною літературою, яка рекомендована міністерством освіти.

Увімкнення критичних точоку проміжки зростання та спадання у тому випадку, якщо вони задовольняють області визначення функції.

Визначення 2

Для визначення проміжків зростання та зменшення функції необхідно знайти:

  • похідну;
  • критичні точки;
  • розбити область визначення за допомогою критичних точок на інтервали;
  • визначити знак похідної кожному з проміжків, де + є зростанням, а - є спаданням.

Приклад 3

Знайти похідну в області визначення f "(x) = x 2 "(4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Рішення

Для вирішення потрібно:

  • знайти стаціонарні точки, даний приклад має в своєму розпорядженні х = 0;
  • знайти нулі знаменника, приклад набуває значення нуль при x = ± 1 2 .

Виставляємо крапки на числовій осі для визначення похідної на кожному проміжку. Для цього достатньо взяти будь-яку точку з проміжку та зробити обчислення. При позитивному результаті графіку зображаємо + , що означає зростання функції, а - означає її спадання.

Наприклад, f "(- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, отже, перший інтервал зліва має знак +. Розглянемо на числовій прямій.

Відповідь:

  • відбувається зростання функції на проміжку - ∞; - 1 2 і (- 1 2; 0];
  • відбувається убування на проміжку [0; 1 2) та 1 2 ; + ∞.

На схемі з допомогою + і - зображується позитивність і негативність функції, а стрілочки – спадання і зростання.

Точки екстремуму функції – точки, де функція визначена і якими похідна змінює знак.

Приклад 4

Якщо розглянути приклад, де х = 0 тоді значення функції в ній дорівнює f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 . При зміні знака похідної з + на - і проходження через точку х = 0 тоді точка з координатами (0 ; 0) вважається точкою максимуму. При зміні знака з – на + отримуємо точку мінімуму.

Випуклість і увігнутість визначається при розв'язанні нерівностей виду f "" (x) ≥ 0 і f "" (x) ≤ 0 . Рідше використовують назву опуклість вниз замість увігнутості, а опуклість вгору замість опуклості.

Визначення 3

Для визначення проміжків увігнутості та опуклостінеобхідно:

  • знайти другу похідну;
  • знайти нулі функції другої похідної;
  • розбити область визначення точками, що з'явилися, на інтервали;
  • визначити знак проміжку.

Приклад 5

Знайти другу похідну в галузі визначення.

Рішення

f " " (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Знаходимо нулі чисельника та знаменника, де на прикладі нашого прикладу маємо, що нулі знаменника x = ± 1 2

Тепер необхідно нанести крапки на числову вісь та визначити знак другої похідної з кожного проміжку. Отримаємо, що

Відповідь:

  • функція є опуклою з проміжку - 1 2; 1 2;
  • функція є увігнутою з проміжків - ∞; - 1 2 та 1 2 ; + ∞.

Визначення 4

Точка перегину- Це точка виду x 0; f(x0) . Коли у ній є дотична до графіка функції, то її проходженні через x 0 функція змінює знак на протилежний.

Інакше висловлюючись, це така точка, якою проходить друга похідна і змінює знак, а самих точках дорівнює нулю чи немає. Усі точки вважаються областю визначення функції.

У прикладі було видно, що точки перегину відсутні, оскільки друга похідна змінює знак під час проходження через точки x = ± 12. Вони, своєю чергою, до області визначення не входять.

Знаходження горизонтальних та похилих асимптот

При визначенні функції на нескінченності потрібно шукати горизонтальні та похилі асимптоти.

Визначення 5

Похилі асимптотизображуються за допомогою прямих, заданих рівнянням y = k x + b , де k = lim x → f (x) x і b = lim x → f (x) - k x .

При k = 0 і b, не рівному нескінченності, отримуємо, що похила асимптота стає горизонтальною.

Інакше висловлюючись, асимптотами вважають лінії, яких наближається графік функції на нескінченності. Це сприяє швидкій побудові графіка функції.

Якщо асимптоти відсутні, але функція визначається на обох нескінченностях, необхідно порахувати межу функції на цих нескінченностях, щоб зрозуміти, як поводитиметься графік функції.

Приклад 6

На прикладі розглянемо, що

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

є горизонтальною асимптотою. Після дослідження функції можна приступати до її побудови.

Обчислення значення функції у проміжних точках

Щоб побудова графіка була найточнішою, рекомендовано знаходити кілька значень функції у проміжних точках.

Приклад 7

З розглянутого нами прикладу необхідно визначити значення функції в точках х = - 2, х = - 1, х = - 3 4, х = - 1 4 . Так як функція парна, отримаємо, що значення збігатимуться зі значеннями в цих точках, тобто отримаємо х = 2, х = 1, х = 34, х = 14.

Запишемо та вирішимо:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 · 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0 , 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 · 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0 , 08

Для визначення максимумів та мінімумів функції, точок перегину, проміжних точок необхідно будувати асимптоти. Для зручного позначення фіксуються проміжки зростання, спадання, опуклість, увігнутість. Розглянемо малюнку, зображеному нижче.

Необхідно через зазначені точки проводити лінії графіка, що дозволить наблизити до асимптотів, слідуючи стрілочкам.

У цьому закінчується повне дослідження функції. Трапляються випадки побудови деяких елементарних функцій, для яких застосовують геометричні перетворення.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

З деяких пір у TheBat (незрозуміло з якої причини) перестає коректно працювати вбудована база сертифікатів для SSL.

Під час перевірки посади вискакує помилка:

Невідомий сертифікат СА
Сервер не представив кореневий сертифікат у сесії та відповідного кореневого сертифіката не знайдено в адресній книзі.
Це з'єднання може бути секретним. Будь ласка
зв'яжіться з адміністратором сервера.

І пропонується на вибір відповіді – ТАК/НІ. І так щоразу коли знімаєш пошту.

Рішення

У цьому випадку потрібно замінити стандарт реалізації S/MIME та TLS на Microsoft CryptoAPI у налаштуваннях TheBat!

Так як мені треба було всі файли об'єднати в один, то спочатку перетворив всі doc файли в єдиний pdf файл (за допомогою програми Acrobat), а потім вже через онлайн-конвертер перевів у fb2. Можна ж конвертувати файли окремо. Формати можуть бути абсолютно будь-які (початкові) та doc, і jpg, і навіть zip архів!

Назва сайту відповідна суті:) Онлайн Фотошоп.

Апдейт травень 2015

Я знайшов ще один чудовий сайт! Ще зручніше та функціональніше для створення абсолютно довільного колажу! Це сайт http://www.fotor.com/ru/collage/. Використовуйте на здоров'я. І сам користуватимуся.

Зіткнувся у житті з ремонтом електроплити. Вже багато що робив, багато чого навчився, але якось із плитками справи мав мало. Потрібна була заміна контактів на регуляторах та конфорках. Виникло питання - як визначити діаметр конфорки у електроплити?

Відповідь виявилася простою. Не треба нічого міряти, можна спокійною на око визначити, який вам потрібен розмір.

Найменша конфорка– це 145 міліметрів (14,5 сантиметрів)

Середня конфорка– це 180 міліметрів (18 сантиметрів).

І, нарешті, сама велика конфорка– це 225 міліметрів (22,5 сантиметрів).

Достатньо на око визначити розмір та зрозуміти якого діаметру вам потрібна конфорка. Я коли цього не знав - парився з цими розмірами, не знав як вимірювати, яким краєм орієнтуватися і т.д. Тепер я мудрий:) Сподіваюся, і вам допоміг!

У житті зіткнувся із таким завданням. Думаю, що не я один такий.