Notele mele de călătorie adepte. Notele mele de călătorie adepte Găsirea zonei de definiție
Rezolvatorul Kuznetsov.
III Diagrame
Sarcina 7. Efectuați un studiu complet al funcției și construiți graficul acesteia.
Înainte de a începe descărcarea opțiunilor, încercați să rezolvați problema conform exemplului dat mai jos pentru opțiunea 3. Unele dintre opțiuni sunt arhivate în format .rar
7.3 Efectuați un studiu complet al funcției și trasați-o
Soluţie.
1) Domeniul de aplicare al definiției: sau , adică 
.
.
Astfel: .
2) Nu există puncte de intersecție cu axa Ox. Într-adevăr, ecuația nu are soluții.
Nu există puncte de intersecție cu axa Oy, deoarece .
3) Funcția nu este nici pară, nici impară. Nu există simetrie în jurul axei ordonatelor. De asemenea, nu există simetrie cu privire la origine. Deoarece 
.
Vedem că și .
4) Funcția este continuă în domeniul definiției
.
; 
. 
; 
.
În consecință, punctul este un punct de discontinuitate de al doilea fel (discontinuitate infinită).
5) Asimptote verticale:
Să găsim asimptota oblică . Aici
;
.
În consecință, avem o asimptotă orizontală: y=0. Nu există asimptote oblice.
6) Să găsim prima derivată. Prima derivată: 
.
Si de aceea 
.
Să găsim puncte staționare în care derivata este egală cu zero, adică
.
7) Să găsim derivata a doua. Derivata a doua: 
.
Și acest lucru este ușor de verificat, deoarece
Dacă problema necesită un studiu complet al funcției f (x) = x 2 4 x 2 - 1 cu construcția graficului ei, atunci vom lua în considerare acest principiu în detaliu.
Pentru a rezolva o problemă de acest tip, ar trebui să utilizați proprietățile și graficele funcțiilor elementare de bază. Algoritmul de cercetare include următorii pași:
Găsirea domeniului definiției
Deoarece cercetările sunt efectuate pe domeniul definirii funcției, este necesar să începem cu acest pas.
Exemplul 1
Exemplul dat implică găsirea zerourilor numitorului pentru a le exclude din ODZ.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
Ca rezultat, puteți obține rădăcini, logaritmi și așa mai departe. Atunci ODZ poate fi căutată pentru o rădăcină de grad par de tip g (x) 4 prin inegalitatea g (x) ≥ 0, pentru logaritmul log a g (x) prin inegalitatea g (x) > 0.
Studierea limitelor ODZ și găsirea asimptotelor verticale
Există asimptote verticale la granițele funcției, când limitele unilaterale în astfel de puncte sunt infinite.
Exemplul 2
De exemplu, considerați punctele de frontieră egale cu x = ± 1 2.
Apoi este necesar să se studieze funcția pentru a găsi limita unilaterală. Atunci obținem că: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
Aceasta arată că limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că liniile drepte x = ± 1 2 sunt asimptotele verticale ale graficului.
Studiul unei funcții și dacă este par sau impar
Când condiția y (- x) = y (x) este îndeplinită, funcția este considerată pară. Aceasta sugerează că graficul este situat simetric în raport cu Oy. Când condiția y (- x) = - y (x) este îndeplinită, funcția este considerată impară. Aceasta înseamnă că simetria este relativă la originea coordonatelor. Dacă cel puțin o inegalitate nu este satisfăcută, obținem o funcție de formă generală.
Egalitatea y (- x) = y (x) indică faptul că funcția este pară. La construcție, este necesar să se țină cont de faptul că va exista simetrie față de Oy.
Pentru a rezolva inegalitatea, se folosesc intervale de creștere și descreștere cu condițiile f " (x) ≥ 0 și, respectiv, f " (x) ≤ 0.
Definiția 1
Puncte staționare- acestea sunt punctele care transformă derivata la zero.
Puncte critice- sunt puncte interne din domeniul definiției unde derivata funcției este egală cu zero sau nu există.
La luarea unei decizii, trebuie luate în considerare următoarele note:
- pentru intervalele existente de inegalități crescătoare și descrescătoare de forma f " (x) > 0, punctele critice nu sunt incluse în soluție;
- punctele la care funcția este definită fără o derivată finită trebuie incluse în intervalele de creștere și descreștere (de exemplu, y = x 3, unde punctul x = 0 face ca funcția să fie definită, derivata are valoarea infinitului la acest punctul, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 este inclus în intervalul crescător);
- Pentru a evita neînțelegerile, se recomandă utilizarea literaturii matematice recomandate de Ministerul Educației.
Includere puncte criticeîn intervale de creştere şi scădere dacă satisfac domeniul de definire al funcţiei.
Definiția 2
Pentru determinand intervalele de crestere si scadere ale unei functii, este necesar sa se gaseasca:
- derivat;
- puncte critice;
- împărțiți domeniul definiției în intervale folosind puncte critice;
- determinați semnul derivatei pe fiecare dintre intervale, unde + este o creștere și - este o scădere.
Exemplul 3
Aflați derivata pe domeniul definiției f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
Soluţie
Pentru a rezolva ai nevoie de:
- găsiți puncte staționare, acest exemplu are x = 0;
- găsiți zerourile numitorului, exemplul ia valoarea zero la x = ± 1 2.
Punem puncte pe dreapta numerică pentru a determina derivata pe fiecare interval. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice punct din interval și să efectuați calculul. Dacă rezultatul este pozitiv, înfățișăm + pe grafic, ceea ce înseamnă că funcția este în creștere și - înseamnă că este în scădere.
De exemplu, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, ceea ce înseamnă că primul interval din stânga are semnul +. Luați în considerare pe linia numerică.
Răspuns:
- funcția crește pe intervalul - ∞; - 1 2 și (- 1 2 ; 0 ] ;
- are loc o scădere a intervalului [ 0 ; 1 2) și 1 2; + ∞ .
În diagramă, folosind + și -, sunt prezentate pozitivitatea și negativitatea funcției, iar săgețile indică scăderea și creșterea.
Punctele extreme ale unei funcții sunt puncte în care funcția este definită și prin care derivata își schimbă semnul.
Exemplul 4
Dacă luăm în considerare un exemplu în care x = 0, atunci valoarea funcției din acesta este egală cu f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Când semnul derivatei se schimbă de la + la - și trece prin punctul x = 0, atunci punctul cu coordonatele (0; 0) este considerat punctul maxim. Când semnul se schimbă de la - la +, obținem un punct minim.
Convexitatea și concavitatea sunt determinate prin rezolvarea inegalităților de forma f "" (x) ≥ 0 și f "" (x) ≤ 0. Mai puțin folosit este denumirea de convexitate în jos în loc de concavitate și convexitate în sus în loc de convexitate.
Definiția 3
Pentru determinarea intervalelor de concavitate şi convexitate necesar:
- găsiți derivata a doua;
- găsiți zerourile funcției derivate a doua;
- împărțiți zona de definire în intervale cu punctele care apar;
- determinați semnul intervalului.
Exemplul 5
Găsiți derivata a doua din domeniul definiției.
Soluţie
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Găsim zerourile numărătorului și numitorului, unde în exemplul nostru avem că zerourile numitorului x = ± 1 2
Acum trebuie să trasați punctele pe dreapta numerică și să determinați semnul derivatei a doua din fiecare interval. Înțelegem asta
Răspuns:
- funcţia este convexă din intervalul - 1 2 ; 12;
- funcţia este concavă din intervalele - ∞ ; - 1 2 și 1 2; + ∞ .
Definiția 4
Punct de inflexiune– acesta este un punct de forma x 0 ; f (x 0). Când are o tangentă la graficul funcției, atunci când trece prin x 0 funcția își schimbă semnul opus.
Cu alte cuvinte, acesta este un punct prin care derivata a doua trece și își schimbă semnul, iar în punctele în sine este egală cu zero sau nu există. Toate punctele sunt considerate a fi domeniul funcției.
În exemplu, era clar că nu există puncte de inflexiune, deoarece derivata a doua își schimbă semnul în timp ce trece prin punctele x = ± 1 2. Ele, la rândul lor, nu sunt incluse în domeniul de aplicare al definiției.
Găsirea asimptotelor orizontale și oblice
Când definiți o funcție la infinit, trebuie să căutați asimptote orizontale și oblice.
Definiția 5
Asimptote oblice sunt reprezentate folosind drepte date de ecuația y = k x + b, unde k = lim x → ∞ f (x) x și b = lim x → ∞ f (x) - k x.
Pentru k = 0 și b nu este egal cu infinitul, aflăm că asimptota oblică devine orizontală.
Cu alte cuvinte, asimptotele sunt considerate drepte de care graficul unei funcții se apropie la infinit. Acest lucru facilitează construirea rapidă a unui grafic al funcției.
Dacă nu există asimptote, dar funcția este definită la ambele infinitități, este necesar să se calculeze limita funcției la aceste infinitități pentru a înțelege cum se va comporta graficul funcției.
Exemplul 6
Să luăm ca exemplu faptul că
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
este o asimptotă orizontală. După examinarea funcției, puteți începe să o construiți.
Calcularea valorii unei funcții în puncte intermediare
Pentru a face graficul mai precis, se recomandă să găsiți mai multe valori ale funcției în puncte intermediare.
Exemplul 7
Din exemplul pe care l-am luat în considerare, este necesar să găsim valorile funcției în punctele x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Deoarece funcția este pară, obținem că valorile coincid cu valorile din aceste puncte, adică obținem x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Să scriem și să rezolvăm:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Pentru a determina maximele și minimele funcției, punctele de inflexiune și punctele intermediare, este necesar să se construiască asimptote. Pentru o desemnare convenabilă, sunt înregistrate intervalele de creștere, descreștere, convexitate și concavitate. Să ne uităm la poza de mai jos.
Este necesar să trasați linii grafice prin punctele marcate, ceea ce vă va permite să abordați asimptotele urmând săgețile.
Aceasta încheie explorarea completă a funcției. Există cazuri de construire a unor funcții elementare pentru care se folosesc transformări geometrice.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
De ceva timp, baza de date încorporată a certificatelor TheBat pentru SSL a încetat să funcționeze corect (nu este clar din ce motiv).
La verificarea postării, apare o eroare:
Certificat CA necunoscut
Serverul nu a prezentat un certificat rădăcină în sesiune și certificatul rădăcină corespunzător nu a fost găsit în agenda de adrese.
Această conexiune nu poate fi secretă. Vă rog
contactați administratorul serverului dvs.
Și vi se oferă o alegere de răspunsuri - DA / NU. Și așa de fiecare dată când eliminați e-mail.
Soluţie
În acest caz, trebuie să înlocuiți standardul de implementare S/MIME și TLS cu Microsoft CryptoAPI în setările TheBat!
Deoarece trebuia să combin toate fișierele într-unul singur, mai întâi am convertit toate fișierele doc într-un singur fișier pdf (folosind programul Acrobat), apoi l-am transferat în fb2 printr-un convertor online. De asemenea, puteți converti fișiere individual. Formatele pot fi absolut orice (sursă) - doc, jpg și chiar o arhivă zip!
Numele site-ului corespunde esenței :) Online Photoshop.
Actualizare mai 2015
Am gasit un alt site grozav! Și mai convenabil și funcțional pentru a crea un colaj complet personalizat! Acesta este site-ul http://www.fotor.com/ru/collage/. Bucură-te de el pentru sănătatea ta. Și îl voi folosi și eu.
În viața mea am dat peste problema reparării unui aragaz electric. Am făcut deja o mulțime de lucruri, am învățat multe, dar cumva am avut puțin de-a face cu plăcile. A fost necesar să se înlocuiască contactele de pe regulatoare și arzătoare. A apărut întrebarea - cum să determinați diametrul arzătorului pe o sobă electrică?
Răspunsul s-a dovedit a fi simplu. Nu trebuie să măsurați nimic, puteți determina cu ușurință cu privire la dimensiunea de care aveți nevoie.
Cel mai mic arzător- aceasta este 145 milimetri (14,5 centimetri)
Arzator mijlociu- aceasta este 180 de milimetri (18 centimetri).
Și, în sfârșit, cel mai mult arzător mare- aceasta este 225 milimetri (22,5 centimetri).
Este suficient să determinați dimensiunea prin ochi și să înțelegeți ce diametru aveți nevoie de arzător. Când nu știam asta, eram îngrijorat de aceste dimensiuni, nu știam cum să măsor, pe ce margine să navighez etc. Acum sunt intelept :) Sper ca te-am ajutat si pe tine!
În viața mea m-am confruntat cu o astfel de problemă. Cred că nu sunt singurul.
