MY 능숙한 여행 노트. MY 능숙한 여행 노트 범위 찾기
Reshebnik Kuznetsov.
III 그래프
작업 7. 함수에 대한 완전한 연구를 수행하고 그래프를 작성하십시오.
옵션 다운로드를 시작하기 전에 옵션 3에 대한 아래 샘플에 따라 문제를 해결해 보십시오. 일부 옵션은 .rar 형식으로 보관됩니다.
7.3 함수에 대한 완전한 연구를 수행하고 플롯합니다.
해결책.
1) 범위: 또는 즉 
.
.
따라서: .
2) Ox 축과 교차점이 없습니다. 실제로 방정식 에는 해가 없습니다.
때문에 Oy 축과 교차하는 지점이 없습니다.
3) 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다. y축에 대해 대칭이 없습니다. 원점에 대한 대칭도 없습니다. 왜냐하면 
.
및 가 표시됩니다.
4) 함수는 도메인에서 연속적입니다.
.
; 
. 
; 
.
따라서 점 는 제2종 불연속점(무한 불연속점)이다.
5) 수직 점근선:
사선 점근선 를 구합니다. 여기
;
.
따라서 수평 점근선이 있습니다. y=0. 사선 점근선이 없습니다.
6) 1차 도함수를 구합니다. 1차 미분: 
.
그래서 
.
도함수가 0인 고정점을 찾아봅시다.
.
7) 2차 도함수를 구합니다. 2차 미분: 
.
그리고 이것은 확인하기 쉽습니다.
작업에서 그래프 구성과 함께 함수 f (x) \u003d x 2 · 4 x 2 - 1에 대한 완전한 연구를 수행 해야하는 경우이 원칙을 자세히 고려할 것입니다.
이러한 유형의 문제를 해결하려면 기본 기본 함수의 속성과 그래프를 사용해야 합니다. 연구 알고리즘에는 다음 단계가 포함됩니다.
정의 영역 찾기
기능 영역에 대한 연구가 진행되기 때문에 이 단계부터 시작해야 합니다.
예 1
주어진 예는 DPV에서 분모를 제외하기 위해 분모의 0을 찾는 것과 관련됩니다.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +무한
결과적으로 근, 로그 등을 얻을 수 있습니다. 그런 다음 ODZ는 부등식 g(x) ≥ 0에 의해 유형 g(x) 4의 짝수 차수의 근을, 부등식 g(x) > 0에 의해 로그 로그 a g(x)에 대해 검색될 수 있습니다.
ODZ 경계 조사 및 수직 점근선 찾기
함수의 경계에 수직 점근선이 있는데, 그러한 점에서 단측 극한이 무한할 때입니다.
예 2
예를 들어, x = ± 1 2 와 같은 경계점을 고려하십시오.
그런 다음 단측 극한을 찾는 함수를 연구해야 합니다. lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ 한계 x → - 1 2 + 0 f(x) = 한계 x → - 1 2 + 0 x 24 x - 1 = = 한계 x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f(x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ 한계 x → 1 2 - 0 f (x) = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞
이는 단측 극한이 무한하다는 것을 보여주며, 이는 선 x = ± 1 2가 그래프의 수직 점근선임을 의미합니다.
함수 조사 및 짝수 또는 홀수
y(-x) = y(x)라는 조건이 충족되면 함수가 짝수인 것으로 간주됩니다. 이는 그래프가 Oy에 대해 대칭적으로 위치함을 시사한다. 조건 y(- x) = - y(x)가 충족되면 함수가 홀수로 간주됩니다. 이것은 좌표의 원점을 기준으로 대칭이 진행됨을 의미합니다. 적어도 하나의 부등식이 실패하면 일반 형식의 함수를 얻습니다.
등식 y(- x) = y(x)의 충족은 함수가 짝수임을 나타냅니다. 시공시 O y에 대해 대칭이 될 것이라는 점을 고려할 필요가 있습니다.
부등식을 해결하기 위해 f "(x) ≥ 0 및 f"(x) ≤ 0 조건에서 각각 증가 및 감소 간격이 사용됩니다.
정의 1
고정점미분을 0으로 만드는 점입니다.
임계점함수의 도함수가 0이거나 존재하지 않는 영역의 내부 점입니다.
결정을 내릴 때 다음 사항을 고려해야 합니다.
- f "(x) > 0 형식의 불평등의 기존 증가 및 감소 간격에 대해 임계점은 솔루션에 포함되지 않습니다.
- 유한 도함수 없이 함수가 정의되는 지점은 증가 및 감소 간격에 포함되어야 합니다(예: y \u003d x 3, 여기서 점 x \u003d 0은 함수를 정의하고 도함수 값은 무한대입니다. 이 시점에서 y " \u003d 1 3 x 2 3 , y "(0) = 1 0 = ∞ , x = 0은 증가 간격에 포함됨);
- 불일치를 피하기 위해 교육부에서 권장하는 수학 문헌을 사용하는 것이 좋습니다.
함수의 영역을 만족하는 경우 증가 및 감소 간격에 임계점을 포함합니다.
정의 2
을 위한 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음을 찾아야합니다.:
- 유도체;
- 임계점;
- 임계점의 도움으로 정의 영역을 간격으로 나눕니다.
- 각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다. 여기서 +는 증가이고 -는 감소입니다.
예 3
도메인 f "(x) = x 2"(4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1)에서 도함수 찾기 2 .
해결책
해결하려면 다음이 필요합니다.
- 정지점 찾기, 이 예는 x = 0 입니다.
- 분모의 0을 찾으면 예제는 x = ± 1 2 에서 값 0을 취합니다.
각 구간의 도함수를 결정하기 위해 숫자 축에 점을 노출합니다. 이렇게하려면 간격에서 임의의 지점을 가져 와서 계산하면 충분합니다. 결과가 양수이면 그래프에 +를 그립니다. 이는 함수의 증가를 의미하고 -는 감소를 의미합니다.
예를 들어 f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0은 왼쪽의 첫 번째 간격에 + 기호가 있음을 의미합니다. 숫자를 고려하십시오. 선.
답변:
- 간격에서 함수가 증가합니다 - ∞ ; - 1 2 및 (- 1 2 ; 0 ] ;
- 간격 [ 0 ; 12) 및 12; +∞ .
다이어그램에서 +와 -를 사용하여 함수의 양수와 음수를 표시하고 화살표는 감소 및 증가를 나타냅니다.
함수의 극한점은 함수가 정의되고 도함수가 부호를 변경하는 지점입니다.
예 4
x \u003d 0 인 예를 고려하면 함수 값은 f (0) \u003d 0 2 4 0 2-1 \u003d 0입니다. 미분의 부호가 +에서 -로 변경되고 점 x \u003d 0을 통과하면 좌표가 (0; 0)인 점이 최대 점으로 간주됩니다. 부호가 -에서 +로 변경되면 최소 점수를 얻습니다.
볼록과 오목은 f "" (x) ≥ 0 및 f "" (x) ≤ 0 형식의 부등식을 해결하여 결정됩니다. 덜 자주 오목함 대신 팽창이라는 이름을 사용하고 팽창 대신 팽창이라는 이름을 사용합니다.
정의 3
을 위한 오목과 볼록의 간격 결정필요한:
- 이차 미분을 찾으십시오.
- 2차 도함수 함수의 0을 찾습니다.
- 간격으로 나타나는 점으로 정의 영역을 끊습니다.
- 간격의 부호를 결정합니다.
실시예 5
정의 영역에서 2차 도함수를 찾으십시오.
해결책
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
분자와 분모의 0을 찾습니다. 여기서 예제를 사용하면 분모의 0 x = ± 1 2
이제 수직선에 점을 놓고 각 간격에서 2차 도함수의 부호를 결정해야 합니다. 우리는 그것을 얻는다
답변:
- 함수는 구간 - 1 2 에서 볼록합니다. 12 ;
- 함수는 간격에서 오목합니다 - ∞ ; - 12 및 12; +∞ .
정의 4
변곡점 x 0 형식의 점입니다. f(x0) . 함수의 그래프에 접선이 있을 때 x 0을 통과하면 함수의 부호가 반대 방향으로 바뀝니다.
즉, 이것은 2차 도함수가 통과하고 부호가 변경되는 지점이며, 지점 자체가 0이거나 존재하지 않는 지점입니다. 모든 포인트는 함수의 도메인으로 간주됩니다.
예제에서는 2차 도함수가 x = ± 1 2 점을 지날 때 부호가 바뀌기 때문에 변곡점이 없는 것을 알 수 있었습니다. 차례로 그것들은 정의의 영역에 포함되지 않습니다.
수평 및 사선 점근선 찾기
무한대에서 함수를 정의할 때 수평 및 경사 점근선을 찾아야 합니다.
정의 5
사선 점근선방정식 y = k x + b로 주어진 선을 사용하여 그려집니다. 여기서 k = lim x → ∞ f (x) x 및 b = lim x → ∞ f (x) - k x 입니다.
k = 0이고 b가 무한대가 아닌 경우, 경사 점근선은 다음과 같습니다. 수평의.
즉, 점근선은 함수의 그래프가 무한대로 접근하는 선입니다. 이는 함수 그래프의 빠른 구성에 기여합니다.
점근선이 없지만 함수가 두 무한대에서 정의되는 경우 함수 그래프가 어떻게 작동하는지 이해하려면 이러한 무한대에서 함수의 극한을 계산해야 합니다.
실시예 6
예를 들어 다음을 고려하십시오.
k = 한계 x → ∞ f(x) x = 한계 x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = 한계 x → ∞ (f(x) - k x) = 한계 x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 14 ⇒ y = 14
수평 점근선입니다. 기능을 조사한 후 빌드를 시작할 수 있습니다.
중간 지점에서 함수 값 계산
플로팅을 가장 정확하게 하려면 중간 지점에서 함수의 여러 값을 찾는 것이 좋습니다.
실시예 7
우리가 고려한 예에서 x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 지점에서 함수 값을 찾아야합니다. 함수가 짝수이기 때문에 값이 이러한 지점의 값과 일치합니다. 즉, x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4를 얻습니다.
다음을 작성하고 해결해 봅시다.
F(-2) = f(2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f(- 1) - f(1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 에프 - 3 4 = 에프 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 에프 - 1 4 = 에프 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08
함수의 최대값과 최소값, 변곡점, 중간점을 결정하려면 점근선을 구축해야 합니다. 편리한 지정을 위해 증가, 감소, 볼록, 오목의 간격이 고정되어 있습니다. 아래 그림을 고려하십시오.
화살표를 따라 점근선에 더 가까워질 수 있도록 표시된 점을 통해 그래프 선을 그릴 필요가 있습니다.
이것으로 기능에 대한 완전한 연구를 마칩니다. 기하학적 변환이 사용되는 일부 기본 함수를 구성하는 경우가 있습니다.
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해결책
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대답은 간단했습니다. 아무것도 측정할 필요가 없으며 필요한 크기를 눈으로 침착하게 결정할 수 있습니다.
가장 작은 버너 145밀리미터(14.5센티미터)
중간 버너 180밀리미터(18센티미터)입니다.
그리고 마지막으로 가장 대형 버너 225밀리미터(22.5센티미터)입니다.
눈으로 크기를 결정하고 버너가 필요한 직경을 이해하는 것으로 충분합니다. 이것을 몰랐을 때 나는 이 크기로 치솟았고 측정 방법, 탐색할 가장자리 등을 몰랐습니다. 이제 저는 현명해졌습니다 :) 여러분에게도 도움이 되었기를 바랍니다!
내 인생에서 나는 그런 문제에 직면했습니다. 나는 유일한 사람이 아니라고 생각합니다.
