خانه > فرآیندهای کسب و کار > یادداشت های سفر ماهرانه من. یادداشت های سفر ماهر من پیدا کردن منطقه تعریف


یادداشت های سفر ماهرانه من. یادداشت های سفر ماهر من پیدا کردن منطقه تعریف




حل کننده کوزنتسوف
نمودارهای III

وظیفه 7. مطالعه کاملی از تابع انجام دهید و نمودار آن را بسازید.

        قبل از شروع دانلود گزینه های خود، سعی کنید مشکل را مطابق مثال زیر برای گزینه 3 حل کنید. برخی از گزینه ها با فرمت rar. آرشیو شده اند.

        7.3 مطالعه کامل تابع و رسم آن را انجام دهید

راه حل.

        1) محدوده تعریف:         یا        ، یعنی        .
.
بنابراین:         .

        2) هیچ نقطه تقاطعی با محور Ox وجود ندارد. در واقع، معادله         هیچ راه حلی ندارد.
هیچ نقطه تقاطعی با محور Oy وجود ندارد، زیرا        .

        3) تابع نه زوج است و نه فرد. هیچ تقارنی در مورد محور ترتیب وجود ندارد. همچنین هیچ تقارنی در مورد مبدا وجود ندارد. زیرا
.
می بینیم که         و          .

        4) تابع در حوزه تعریف پیوسته است
.

; .

; .
در نتیجه، نقطه         یک نقطه ناپیوستگی از نوع دوم (ناپیوستگی بی نهایت) است.

5) مجانب عمودی:       

بیایید مجانب اریب         را پیدا کنیم. اینجا

;
.
در نتیجه، ما یک مجانب افقی داریم: y=0. هیچ مجانب مایل وجود ندارد.

        6) بیایید اولین مشتق را پیدا کنیم. مشتق اول:
.
و به همین دلیل
.
بیایید نقاط ثابتی را پیدا کنیم که مشتق آن برابر با صفر است، یعنی
.

        7) بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم. مشتق دوم:
.
و این به راحتی قابل بررسی است، زیرا

اگر مسئله مستلزم مطالعه کامل تابع f (x) = x 2 4 x 2 - 1 با ساخت نمودار آن باشد، آنگاه این اصل را با جزئیات در نظر خواهیم گرفت.

برای حل مشکلی از این نوع، باید از ویژگی ها و نمودارهای توابع ابتدایی اولیه استفاده کنید. الگوریتم تحقیق شامل مراحل زیر است:

یافتن حوزه تعریف

از آنجایی که تحقیقات در حوزه تعریف تابع انجام می شود، لازم است از این مرحله شروع شود.

مثال 1

مثال داده شده شامل یافتن صفرهای مخرج به منظور حذف آنها از ODZ است.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

در نتیجه می توانید ریشه، لگاریتم و غیره را بدست آورید. سپس ODZ را می توان برای ریشه یک درجه زوج از نوع g (x) 4 با نابرابری g (x) ≥ 0، برای لاگ لگاریتمی a g (x) با نابرابری g (x) > 0 جستجو کرد.

مطالعه مرزهای ODZ و یافتن مجانب عمودی

مجانبی عمودی در مرزهای تابع وجود دارد، زمانی که حدود یک طرفه در چنین نقاطی بی نهایت باشد.

مثال 2

به عنوان مثال، نقاط مرزی را برابر با x = ± 1 2 در نظر بگیرید.

سپس برای یافتن حد یک طرفه باید تابع را مطالعه کرد. سپس دریافت می کنیم که: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

این نشان می دهد که حدود یک طرفه بی نهایت هستند، به این معنی که خطوط مستقیم x = ± 1 2 مجانب عمودی نمودار هستند.

مطالعه یک تابع و زوج یا فرد بودن آن

وقتی شرط y (- x) = y (x) برآورده شود، تابع زوج در نظر گرفته می شود. این نشان می دهد که نمودار با توجه به Oy به صورت متقارن قرار دارد. وقتی شرط y (- x) = - y (x) برآورده شد، تابع فرد در نظر گرفته می شود. این بدان معنی است که تقارن نسبت به مبدأ مختصات است. اگر حداقل یک نابرابری ارضا نشود، تابعی از شکل کلی به دست می آوریم.

برابری y (- x) = y (x) نشان می دهد که تابع زوج است. هنگام ساخت، باید در نظر داشت که با توجه به Oy تقارن وجود خواهد داشت.

برای حل نابرابری، فواصل افزایش و کاهش به ترتیب با شرایط f " (x) ≥ 0 و f" (x) ≤ 0 استفاده می شود.

تعریف 1

نقاط ثابت- اینها نقاطی هستند که مشتق را صفر می کنند.

نقاط بحرانی- اینها نقاط داخلی از دامنه تعریف هستند که مشتق تابع برابر با صفر است یا وجود ندارد.

هنگام تصمیم گیری، نکات زیر باید در نظر گرفته شود:

  • برای فواصل موجود افزایش و کاهش نابرابری های شکل f " (x) > 0، نقاط بحرانی در راه حل گنجانده نشده است.
  • نقاطی که تابع بدون مشتق محدود تعریف می‌شود باید در بازه‌های افزایش و کاهش گنجانده شوند (به عنوان مثال، y = x 3، جایی که نقطه x = 0 تابع تعریف شده را می‌سازد، مشتق دارای مقدار بی‌نهایت در این است. نقطه، y " = 1 3 x 2 3، y "(0) = 1 0 = ∞، x = 0 در بازه افزایشی گنجانده شده است).
  • برای جلوگیری از اختلاف نظر، استفاده از ادبیات ریاضی توصیه شده توسط وزارت آموزش و پرورش توصیه می شود.

شمول نقاط بحرانیدر فواصل افزایش و کاهش اگر دامنه تعریف تابع را برآورده کنند.

تعریف 2

برای برای تعیین فواصل افزایش و کاهش یک تابع، باید آن را پیدا کرد:

  • مشتق؛
  • نقاط بحرانی؛
  • دامنه تعریف را با استفاده از نقاط بحرانی به فواصل تقسیم کنید.
  • علامت مشتق را در هر یک از فواصل تعیین کنید، جایی که + افزایش و - کاهش است.

مثال 3

مشتق را در دامنه تعریف f " (x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - بیابید 1) 2.

راه حل

برای حل شما نیاز دارید:

  • نقاط ثابت را پیدا کنید، این مثال x = 0 دارد.
  • صفرهای مخرج را پیدا کنید، مثال مقدار صفر را در x = ± 1 2 می گیرد.

برای تعیین مشتق در هر بازه، نقاطی را روی محور اعداد قرار می دهیم. برای این کار کافی است هر نقطه ای از بازه را بگیرید و محاسبه را انجام دهید. اگر نتیجه مثبت باشد، + را روی نمودار نشان می‌دهیم که به معنی افزایش تابع و - به معنای کاهش است.

به عنوان مثال، f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0، به این معنی که اولین بازه سمت چپ دارای علامت + است. خط عددی را در نظر بگیرید.

پاسخ:

  • تابع در بازه افزایش می یابد - ∞. - 1 2 و (- 1 2 ; 0 ] ;
  • کاهش در فاصله [0; 1 2) و 1 2 ; + ∞ .

در نمودار با استفاده از + و - مثبت و منفی تابع نشان داده شده است و فلش ها نشان دهنده کاهش و افزایش هستند.

نقاط افراطی یک تابع نقاطی هستند که تابع در آنها تعریف می شود و مشتق از طریق آنها علامت تغییر می دهد.

مثال 4

اگر مثالی را در نظر بگیریم که x = 0، آنگاه مقدار تابع موجود در آن برابر با f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 است. هنگامی که علامت مشتق از + به - تغییر می کند و از نقطه x = 0 عبور می کند، نقطه دارای مختصات (0؛ 0) حداکثر نقطه در نظر گرفته می شود. هنگامی که علامت از - به + تغییر می کند، یک نقطه حداقل به دست می آوریم.

تحدب و تقعر با حل نابرابری های شکل f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 تعیین می شود. نام محدب به جای تقعر به سمت پایین و به جای محدب نام تحدب رو به بالا که کمتر مورد استفاده قرار می گیرد.

تعریف 3

برای تعیین فواصل تقعر و تحدبلازم:

  • مشتق دوم را پیدا کنید.
  • صفرهای تابع مشتق دوم را پیدا کنید.
  • ناحیه تعریف را به فواصل با نقاط ظاهر شده تقسیم کنید.
  • علامت فاصله را تعیین کنید.

مثال 5

مشتق دوم را از حوزه تعریف بیابید.

راه حل

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

ما صفرهای صورت و مخرج را پیدا می کنیم، جایی که در مثال ما داریم که صفرهای مخرج x = ± 1 2

حالا باید نقاط روی خط اعداد را رسم کنید و علامت مشتق دوم را از هر بازه مشخص کنید. ما آن را دریافت می کنیم

پاسخ:

  • تابع از بازه - 1 2 محدب است. 12 ;
  • تابع از فواصل - ∞ مقعر است. - 1 2 و 1 2; + ∞ .

تعریف 4

نقطه عطف- این یک نقطه به شکل x 0 است. f (x 0). وقتی تابع نمودار مماس دارد، وقتی از x 0 عبور می کند، علامت آن را به عکس تغییر می دهد.

به عبارت دیگر، این نقطه ای است که مشتق دوم از آن عبور می کند و علامت تغییر می دهد و در خود نقاط برابر با صفر یا وجود ندارد. همه نقاط به عنوان دامنه تابع در نظر گرفته می شوند.

در مثال، واضح بود که هیچ نقطه عطفی وجود ندارد، زیرا مشتق دوم در حین عبور از نقاط x = 1 ± علامت تغییر می دهد. آنها به نوبه خود در محدوده تعریف قرار نمی گیرند.

یافتن مجانب افقی و مایل

هنگام تعریف یک تابع در بی نهایت، باید به دنبال مجانب افقی و مایل باشید.

تعریف 5

مجانب مایلبا استفاده از خطوط مستقیم داده شده توسط معادله y = k x + b، که در آن k = lim x → ∞ f (x) x و b = lim x → ∞ f (x) - k x نشان داده شده است.

برای k = 0 و b مساوی با بی نهایت نیست، متوجه می شویم که مجانب مایل می شود افقی.

به عبارت دیگر مجانب خطوطی در نظر گرفته می شوند که نمودار یک تابع در بی نهایت به آنها نزدیک می شود. این امر ساخت سریع نمودار تابع را تسهیل می کند.

اگر مجانبی وجود نداشته باشد، اما تابع در هر دو بی‌نهایت تعریف شده باشد، لازم است حد تابع در این بینهایت‌ها محاسبه شود تا بفهمیم نمودار تابع چگونه رفتار خواهد کرد.

مثال 6

بیایید به عنوان مثال در نظر بگیریم که

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

مجانبی افقی است. پس از بررسی تابع، می توانید شروع به ساخت آن کنید.

محاسبه مقدار یک تابع در نقاط میانی

برای دقیق تر کردن نمودار، توصیه می شود چندین مقدار تابع را در نقاط میانی پیدا کنید.

مثال 7

از مثالی که در نظر گرفتیم، لازم است مقادیر تابع را در نقاط x = - 2، x = - 1، x = - 3 4، x = - 1 4 پیدا کنیم. از آنجایی که تابع زوج است، دریافت می کنیم که مقادیر با مقادیر در این نقاط منطبق هستند، یعنی x = 2، x = 1، x = 3 4، x = 1 4 به دست می آوریم.

بیایید بنویسیم و حل کنیم:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

برای تعیین ماکزیمم و مینیمم تابع، نقاط عطف و نقاط میانی، لازم است مجانبی بسازیم. برای تعیین مناسب، فواصل افزایش، کاهش، تحدب و تقعر ثبت می شود. بیایید به تصویر زیر نگاه کنیم.

لازم است خطوط نمودار را از طریق نقاط مشخص شده ترسیم کنید، که به شما امکان می دهد با دنبال کردن فلش ها به مجانب نزدیک شوید.

این کاوش کامل تابع را به پایان می رساند. مواردی از ساخت برخی توابع ابتدایی وجود دارد که برای آنها از تبدیل های هندسی استفاده می شود.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

مدتی است که پایگاه داده گواهی داخلی TheBat برای SSL به درستی کار نمی کند (معلوم نیست به چه دلیل).

هنگام بررسی پست، یک خطا ظاهر می شود:

گواهی CA ناشناخته
سرور گواهی ریشه در جلسه ارائه نکرد و گواهی ریشه مربوطه در دفترچه آدرس یافت نشد.
این ارتباط نمی تواند مخفی باشد. لطفا
با مدیر سرور خود تماس بگیرید

و گزینه ای از پاسخ ها به شما پیشنهاد می شود - بله / خیر. و بنابراین هر بار که ایمیل را حذف می کنید.

راه حل

در این صورت باید استاندارد پیاده سازی S/MIME و TLS را با Microsoft CryptoAPI در تنظیمات TheBat جایگزین کنید!

از آنجایی که باید همه فایل ها را با هم ترکیب کنم، ابتدا تمام فایل های doc را به یک فایل pdf تبدیل کردم (با استفاده از برنامه Acrobat)، و سپس آن را از طریق یک مبدل آنلاین به fb2 منتقل کردم. همچنین می توانید فایل ها را به صورت جداگانه تبدیل کنید. فرمت ها می توانند کاملاً هر (منبع) باشند - doc، jpg، و حتی یک آرشیو فشرده!

نام سایت مطابق با اصل است :) فتوشاپ آنلاین.

به روز رسانی می 2015

یه سایت عالی دیگه پیدا کردم! حتی راحت تر و کاربردی تر برای ایجاد یک کلاژ کاملا سفارشی! این سایت http://www.fotor.com/ru/collage/ است. برای سلامتی خود از آن لذت ببرید. و من خودم از آن استفاده خواهم کرد.

در زندگی به مشکل تعمیر اجاق برقی برخوردم. من قبلاً کارهای زیادی انجام داده‌ام، چیزهای زیادی یاد گرفته‌ام، اما به نوعی ارتباط کمی با کاشی‌ها داشتم. لازم بود که کنتاکت های روی رگولاتورها و مشعل ها تعویض شوند. این سوال مطرح شد - چگونه می توان قطر مشعل را روی اجاق گاز الکتریکی تعیین کرد؟

جواب ساده بود. شما نیازی به اندازه گیری چیزی ندارید، می توانید به راحتی با چشم تعیین کنید که چه اندازه ای نیاز دارید.

کوچکترین مشعل- این 145 میلی متر (14.5 سانتی متر) است

مشعل وسط- این 180 میلی متر (18 سانتی متر) است.

و در نهایت، بیشترین مشعل بزرگ- این 225 میلی متر (22.5 سانتی متر) است.

کافی است اندازه را با چشم تعیین کنید و بفهمید که چه قطری به مشعل نیاز دارید. وقتی این را نمی دانستم، نگران این ابعاد بودم، نمی دانستم چگونه اندازه گیری کنم، کدام لبه را پیمایش کنم و غیره. حالا من عاقل شدم :) امیدوارم به شما هم کمک کرده باشم!

در زندگی ام با چنین مشکلی مواجه شدم. فکر می کنم من تنها نیستم.