MOJE notatki z podróży adeptów. MOJE notatki z podróży adeptów Znalezienie obszaru definicji
Solver Kuzniecow.
III Wykresy
Zadanie 7. Przeprowadź pełne badanie funkcji i skonstruuj jej wykres.
Przed rozpoczęciem pobierania opcji spróbuj rozwiązać problem zgodnie z przykładem podanym poniżej dla opcji 3. Niektóre opcje są archiwizowane w formacie .rar
7.3 Przeprowadź pełne badanie funkcji i wykreśl ją
Rozwiązanie.
1) Zakres definicji: lub , czyli 
.
.
Zatem: .
2) Nie ma punktów przecięcia z osią Wołu. Rzeczywiście równanie nie ma rozwiązań.
Nie ma punktów przecięcia z osią Oy, ponieważ .
3) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Nie ma symetrii względem osi rzędnych. Nie ma również symetrii co do pochodzenia. Ponieważ 
.
Widzimy, że i .
4) Funkcja jest ciągła w dziedzinie definicji
.
; 
. 
; 
.
W konsekwencji punkt jest punktem nieciągłości drugiego rodzaju (nieskończonej nieciągłości).
5) Asymptoty pionowe:
Znajdźmy asymptotę ukośną . Tutaj
;
.
W rezultacie mamy asymptotę poziomą: y=0. Nie ma asymptot ukośnych.
6) Znajdźmy pierwszą pochodną. Pierwsza pochodna: 
.
I własnie dlatego 
.
Znajdźmy punkty stacjonarne, w których pochodna jest równa zero
.
7) Znajdźmy drugą pochodną. Druga pochodna: 
.
A to łatwo sprawdzić, bo
Jeśli problem wymaga pełnego zbadania funkcji f (x) = x 2 4 x 2 - 1 wraz z konstrukcją jej wykresu, wówczas szczegółowo rozważymy tę zasadę.
Aby rozwiązać tego typu problem, należy skorzystać z własności i wykresów podstawowych funkcji elementarnych. Algorytm badawczy obejmuje następujące kroki:
Znalezienie dziedziny definicji
Ponieważ badania prowadzone są w dziedzinie definicji funkcji, należy zacząć od tego kroku.
Przykład 1
Podany przykład polega na znalezieniu zer mianownika w celu wykluczenia ich z ODZ.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
W rezultacie możesz uzyskać pierwiastki, logarytmy i tak dalej. Następnie można wyszukać ODZ pierwiastek stopnia parzystego typu g (x) 4 przez nierówność g (x) ≥ 0, dla logarytmu log a g (x) przez nierówność g (x) > 0.
Badanie granic ODZ i znajdowanie asymptot pionowych
Na granicach funkcji występują asymptoty pionowe, gdy jednostronne granice w takich punktach są nieskończone.
Przykład 2
Rozważmy na przykład punkty graniczne równe x = ± 1 2.
Następnie należy przestudiować funkcję, aby znaleźć granicę jednostronną. Wtedy otrzymujemy, że: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 fa (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 fa (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 fa (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
To pokazuje, że jednostronne granice są nieskończone, co oznacza, że linie proste x = ± 1 2 są pionowymi asymptotami wykresu.
Badanie funkcji i tego, czy jest ona parzysta, czy nieparzysta
Gdy warunek y (- x) = y (x) jest spełniony, funkcję uważa się za parzystą. Sugeruje to, że wykres jest położony symetrycznie względem Oy. Gdy warunek y (- x) = - y (x) jest spełniony, funkcję uważa się za nieparzystą. Oznacza to, że symetria jest zależna od początku współrzędnych. Jeżeli choć jedna nierówność nie jest spełniona, otrzymujemy funkcję o postaci ogólnej.
Równość y (- x) = y (x) wskazuje, że funkcja jest parzysta. Podczas konstruowania należy wziąć pod uwagę, że będzie symetria w stosunku do Oy.
Aby rozwiązać nierówność, stosuje się przedziały zwiększania i zmniejszania z warunkami odpowiednio f " (x) ≥ 0 i f " (x) ≤ 0.
Definicja 1
Punkty stacjonarne- to są punkty, które zamieniają pochodną na zero.
Punkt krytyczny- są to punkty wewnętrzne z dziedziny definicji, w których pochodna funkcji jest równa zeru lub nie istnieje.
Podejmując decyzję, należy wziąć pod uwagę następujące uwagi:
- dla istniejących przedziałów rosnących i malejących nierówności postaci f " (x) > 0 punkty krytyczne nie są uwzględniane w rozwiązaniu;
- punkty, w których funkcja jest zdefiniowana bez skończonej pochodnej, należy ująć w przedziałach rosnących i malejących (przykładowo y = x 3, gdzie punkt x = 0 wyznacza funkcję, pochodna ma w tym miejscu wartość nieskończoności punkt, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 jest zawarte w rosnącym przedziale);
- Aby uniknąć nieporozumień, zaleca się korzystanie z literatury matematycznej zalecanej przez Ministerstwo Edukacji Narodowej.
Włączenie punkt krytyczny w przedziałach rosnących i malejących, jeśli spełniają dziedzinę definicji funkcji.
Definicja 2
Dla określając przedziały wzrostu i spadku funkcji, należy znaleźć:
- pochodna;
- punkt krytyczny;
- podzielić dziedzinę definicji na przedziały za pomocą punktów krytycznych;
- określ znak pochodnej na każdym z przedziałów, gdzie + jest wzrostem, a - jest spadkiem.
Przykład 3
Znajdź pochodną w dziedzinie definicji f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
Rozwiązanie
Aby rozwiązać, potrzebujesz:
- znajdź punkty stacjonarne, w tym przykładzie x = 0;
- znajdź zera mianownika, przykład przyjmuje wartość zero przy x = ± 1 2.
Umieszczamy punkty na osi liczbowej, aby wyznaczyć pochodną w każdym przedziale. Aby to zrobić, wystarczy pobrać dowolny punkt z przedziału i wykonać obliczenia. Jeśli wynik jest dodatni, na wykresie przedstawiamy +, co oznacza, że funkcja rośnie, a - oznacza, że maleje.
Na przykład f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, co oznacza, że pierwszy przedział po lewej stronie ma znak +. Rozważmy na osi liczbowej.
Odpowiedź:
- funkcja rośnie na przedziale - ∞; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ] ;
- następuje zmniejszenie przedziału [ 0 ; 1 2) i 1 2 ; + ∞ .
Na schemacie za pomocą + i - przedstawiono dodatniość i ujemność funkcji, a strzałki wskazują spadek i wzrost.
Ekstremalne punkty funkcji to punkty, w których funkcja jest zdefiniowana i przez które pochodna zmienia znak.
Przykład 4
Jeśli rozważymy przykład, w którym x = 0, wówczas wartość funkcji w nim jest równa f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Gdy znak pochodnej zmienia się z + na - i przechodzi przez punkt x = 0, wówczas za punkt maksymalny uważa się punkt o współrzędnych (0; 0). Kiedy znak zmienia się z - na +, uzyskujemy minimum punktu.
Wypukłość i wklęsłość określa się rozwiązując nierówności postaci f „” (x) ≥ 0 i f „” (x) ≤ 0. Rzadziej używana jest nazwa wypukłość w dół zamiast wklęsłości i wypukłość w górę zamiast wypukłości.
Definicja 3
Dla wyznaczanie przedziałów wklęsłości i wypukłości niezbędny:
- znajdź drugą pochodną;
- znajdź zera drugiej funkcji pochodnej;
- podzielić obszar definicji na przedziały z pojawiającymi się punktami;
- określić znak przedziału.
Przykład 5
Znajdź drugą pochodną z dziedziny definicji.
Rozwiązanie
fa "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Znajdujemy zera licznika i mianownika, gdzie w naszym przykładzie mamy, że zera mianownika x = ± 1 2
Teraz należy nanieść punkty na oś liczbową i określić znak drugiej pochodnej każdego przedziału. Rozumiemy to
Odpowiedź:
- funkcja jest wypukła z przedziału - 1 2 ; 12;
- funkcja jest wklęsła od przedziałów - ∞ ; - 1 2 i 1 2; + ∞ .
Definicja 4
Punkt przegięcia– jest to punkt postaci x 0 ; fa (x 0) . Jeżeli ma styczną do wykresu funkcji, to po przejściu przez x 0 funkcja zmienia znak na przeciwny.
Innymi słowy jest to punkt, przez który przechodzi druga pochodna i zmienia znak, a w samych punktach jest równa zeru lub nie istnieje. Wszystkie punkty uważa się za dziedzinę funkcji.
Na przykładzie widać było, że nie ma punktów przegięcia, gdyż druga pochodna zmienia znak przechodząc przez punkty x = ± 1 2. One z kolei nie są objęte zakresem definicji.
Znajdowanie asymptot poziomych i ukośnych
Definiując funkcję w nieskończoności, należy szukać asymptot poziomych i ukośnych.
Definicja 5
Asymptoty ukośne są przedstawiane za pomocą linii prostych określonych równaniem y = k x + b, gdzie k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x.
Dla k = 0 i b różnych od nieskończoności stwierdzamy, że asymptota ukośna staje się poziomy.
Innymi słowy, za asymptoty uważa się linie, do których wykres funkcji zbliża się w nieskończoności. Ułatwia to szybkie zbudowanie wykresu funkcji.
Jeżeli nie ma asymptot, ale funkcja jest zdefiniowana w obu nieskończonościach, należy obliczyć granicę funkcji w tych nieskończonościach, aby zrozumieć, jak będzie się zachowywał wykres funkcji.
Przykład 6
Rozważmy to jako przykład
k = lim x → ∞ fa (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
jest asymptotą poziomą. Po sprawdzeniu funkcji możesz przystąpić do jej konstruowania.
Obliczanie wartości funkcji w punktach pośrednich
Aby wykres był dokładniejszy, zaleca się znalezienie kilku wartości funkcji w punktach pośrednich.
Przykład 7
Z rozważanego przez nas przykładu konieczne jest znalezienie wartości funkcji w punktach x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Ponieważ funkcja jest parzysta, otrzymujemy, że wartości pokrywają się z wartościami w tych punktach, to znaczy otrzymujemy x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Napiszmy i rozwiążmy:
fa (- 2) = fa (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 fa (- 1) - fa (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 fa - 3 4 = fa 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 fa - 1 4 = fa 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Aby wyznaczyć maksima i minima funkcji, punkty przegięcia i punkty pośrednie, konieczne jest skonstruowanie asymptot. Dla wygodnego oznaczenia rejestrowane są przedziały zwiększania, zmniejszania, wypukłości i wklęsłości. Spójrzmy na zdjęcie poniżej.
Przez zaznaczone punkty należy poprowadzić linie wykresu, co umożliwi zbliżenie się do asymptot podążając za strzałkami.
Na tym kończy się pełna eksploracja funkcji. Zdarzają się przypadki konstruowania pewnych funkcji elementarnych, dla których stosuje się transformacje geometryczne.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Od jakiegoś czasu wbudowana w TheBat baza certyfikatów dla SSL przestała działać poprawnie (nie wiadomo z jakiego powodu).
Podczas sprawdzania posta pojawia się błąd:
Nieznany certyfikat urzędu certyfikacji
Serwer nie przedstawił w sesji certyfikatu głównego i w książce adresowej nie znaleziono odpowiedniego certyfikatu głównego.
To połączenie nie może być tajne. Proszę
skontaktuj się z administratorem serwera.
I masz wybór odpowiedzi - TAK / NIE. I tak za każdym razem, gdy usuwasz pocztę.
Rozwiązanie
W takim wypadku należy w ustawieniach TheBat zamienić standard implementacji S/MIME i TLS na Microsoft CryptoAPI!
Ponieważ musiałem połączyć wszystkie pliki w jeden, najpierw przekonwertowałem wszystkie pliki doc na jeden plik pdf (za pomocą programu Acrobat), a następnie przeniosłem go do fb2 za pomocą konwertera online. Możesz także konwertować pliki indywidualnie. Formaty mogą być absolutnie dowolne (źródło) - doc, jpg, a nawet archiwum zip!
Nazwa strony odpowiada istocie :) Photoshop online.
Aktualizacja z maja 2015 r
Znalazłem kolejną świetną stronę! Jeszcze wygodniejsze i funkcjonalne w tworzeniu całkowicie niestandardowego kolażu! To jest strona http://www.fotor.com/ru/collage/. Ciesz się tym dla swojego zdrowia. I sam z tego skorzystam.
W swoim życiu natknąłem się na problem naprawy kuchenki elektrycznej. Robiłem już wiele rzeczy, wiele się nauczyłem, ale jakoś z płytkami niewiele miałem wspólnego. Należała wymienić styki na regulatorach i palnikach. Powstało pytanie - jak określić średnicę palnika na kuchence elektrycznej?
Odpowiedź okazała się prosta. Nie musisz niczego mierzyć, możesz łatwo określić naocznie, jakiego rozmiaru potrzebujesz.
Najmniejszy palnik- to jest 145 milimetrów (14,5 centymetra)
Środkowy palnik- to jest 180 milimetrów (18 centymetrów).
I wreszcie najbardziej duży palnik- to jest 225 milimetrów (22,5 centymetra).
Wystarczy określić rozmiar na oko i zrozumieć, jakiej średnicy potrzebujesz palnika. Kiedy tego nie wiedziałem, martwiłem się tymi wymiarami, nie wiedziałem, jak mierzyć, którą krawędzią się poruszać itp. Teraz zmądrzałem :) Mam nadzieję, że Tobie też pomogłem!
W swoim życiu spotkałem się z takim problemem. Myślę, że nie jestem jedyny.
