I MIEI appunti di viaggio esperti. I MIEI appunti di viaggio abili Alla ricerca dell'area di definizione
Risolutore Kuznetsov.
III Grafici
Compito 7. Condurre uno studio completo della funzione e costruire il suo grafico.
Prima di iniziare a scaricare le opzioni, prova a risolvere il problema secondo l'esempio fornito di seguito per l'opzione 3. Alcune opzioni sono archiviate in formato .rar
7.3 Condurre uno studio completo della funzione e tracciarlo
Soluzione.
1) Ambito di definizione: oppure , ovvero 
.
.
Quindi: .
2) Non ci sono punti di intersezione con l'asse del Bue. In effetti, l’equazione non ha soluzioni.
Non esistono punti di intersezione con l'asse Oy, poiché .
3) La funzione non è né pari né dispari. Non c'è simmetria rispetto all'asse delle ordinate. Inoltre non c'è simmetria riguardo all'origine. Perché 
.
Vediamo che e .
4) La funzione è continua nel dominio della definizione
.
; 
. 
; 
.
Di conseguenza il punto è un punto di discontinuità del secondo tipo (discontinuità infinita).
5) Asintoti verticali:
Troviamo l'asintoto obliquo . Qui
;
.
Abbiamo quindi un asintoto orizzontale: y=0. Non ci sono asintoti obliqui.
6) Troviamo la derivata prima. Derivata prima: 
.
Ed ecco perché 
.
Troviamo i punti stazionari in cui la derivata è uguale a zero, cioè
.
7) Troviamo la derivata seconda. Derivata seconda: 
.
E questo è facile da verificare, poiché
Se il problema richiede uno studio completo della funzione f (x) = x 2 4 x 2 - 1 con la costruzione del suo grafico, considereremo questo principio in dettaglio.
Per risolvere un problema di questo tipo è necessario utilizzare le proprietà e i grafici delle funzioni elementari di base. L’algoritmo di ricerca prevede i seguenti passaggi:
Trovare il dominio di definizione
Poiché la ricerca si svolge sul dominio di definizione della funzione, è necessario partire da questo passo.
Esempio 1
L'esempio fornito prevede la ricerca degli zeri del denominatore per escluderli dall'ODZ.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
Di conseguenza, puoi ottenere radici, logaritmi e così via. Allora si può cercare nell'ODZ una radice di grado pari di tipo g (x) 4 mediante la disuguaglianza g (x) ≥ 0, per il logaritmo log a g (x) mediante la disuguaglianza g (x) > 0.
Studio dei confini dell'ODZ e ricerca degli asintoti verticali
Ci sono asintoti verticali ai confini della funzione, quando i limiti unilaterali in tali punti sono infiniti.
Esempio 2
Consideriamo ad esempio i punti di confine pari a x = ± 1 2.
Quindi è necessario studiare la funzione per trovare il limite unilaterale. Quindi otteniamo che: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 )2 = + ∞
Ciò dimostra che i limiti unilaterali sono infiniti, il che significa che le rette x = ± 1 2 sono gli asintoti verticali del grafico.
Studio di una funzione e se è pari o dispari
Quando la condizione y (- x) = y (x) è soddisfatta, la funzione è considerata pari. Ciò suggerisce che il grafico si trova simmetricamente rispetto a Oy. Quando la condizione y (- x) = - y (x) è soddisfatta, la funzione è considerata dispari. Ciò significa che la simmetria è relativa all'origine delle coordinate. Se almeno una disuguaglianza non è soddisfatta, otteniamo una funzione di forma generale.
L'uguaglianza y (- x) = y (x) indica che la funzione è pari. Durante la costruzione è necessario tenere conto che ci sarà simmetria rispetto a Oy.
Per risolvere la disuguaglianza si utilizzano intervalli crescenti e decrescenti con le condizioni f " (x) ≥ 0 e f " (x) ≤ 0, rispettivamente.
Definizione 1
Punti stazionari- questi sono i punti che portano la derivata a zero.
Punti critici- si tratta di punti interni al dominio di definizione in cui la derivata della funzione è uguale a zero o non esiste.
Quando si prende una decisione, è necessario tenere conto delle seguenti note:
- per intervalli esistenti di disuguaglianze crescenti e decrescenti della forma f " (x) > 0, i punti critici non sono inclusi nella soluzione;
- i punti in cui la funzione è definita senza derivata finita devono essere compresi negli intervalli di crescente e decrescente (ad esempio y = x 3, dove il punto x = 0 rende la funzione definita, la derivata ha valore di infinito in questo punto, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 è compreso nell'intervallo crescente);
- Per evitare disaccordi, si consiglia di utilizzare la letteratura matematica consigliata dal Ministero dell'Istruzione.
Inclusione di punti critici in intervalli crescenti e decrescenti se soddisfano il dominio di definizione della funzione.
Definizione 2
Per determinando gli intervalli di aumento e diminuzione di una funzione, è necessario trovare:
- derivato;
- punti critici;
- dividere il dominio di definizione in intervalli utilizzando i punti critici;
- determinare il segno della derivata su ciascuno degli intervalli, dove + è un aumento e - è una diminuzione.
Esempio 3
Trovare la derivata sul dominio della definizione f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
Soluzione
Per risolvere è necessario:
- trova punti stazionari, questo esempio ha x = 0;
- trovare gli zeri del denominatore, nell'esempio assume il valore zero in x = ± 1 2.
Posizioniamo punti sull'asse dei numeri per determinare la derivata su ciascun intervallo. Per fare ciò, è sufficiente prendere qualsiasi punto dall'intervallo ed eseguire un calcolo. Se il risultato è positivo, rappresentiamo + sul grafico, il che significa che la funzione sta aumentando, e - significa che sta diminuendo.
Ad esempio, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, il che significa che il primo intervallo a sinistra ha un segno +. Considera la linea numerica.
Risposta:
- la funzione aumenta nell'intervallo - ∞; - 1 2 e (- 1 2 ; 0 ] ;
- c'è una diminuzione nell'intervallo [ 0 ; 1 2) e 1 2 ; + ∞ .
Nel diagramma, utilizzando + e -, vengono rappresentate la positività e la negatività della funzione e le frecce indicano diminuzione e aumento.
I punti estremi di una funzione sono punti in cui la funzione è definita e attraverso i quali la derivata cambia segno.
Esempio 4
Se consideriamo un esempio in cui x = 0, il valore della funzione in esso contenuto è uguale a f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Quando il segno della derivata cambia da + a - e passa per il punto x = 0, allora il punto con coordinate (0; 0) è considerato il punto massimo. Quando il segno cambia da - a +, otteniamo un punto minimo.
La convessità e la concavità sono determinate risolvendo le disuguaglianze della forma f "" (x) ≥ 0 ef "" (x) ≤ 0. Meno comunemente usato è il nome convessità verso il basso invece di concavità e convessità verso l'alto invece di convessità.
Definizione 3
Per determinazione degli intervalli di concavità e convessità necessario:
- trovare la derivata seconda;
- trovare gli zeri della funzione di derivata seconda;
- dividere l'area di definizione in intervalli con i punti che appaiono;
- determinare il segno dell'intervallo.
Esempio 5
Trova la derivata seconda dal dominio di definizione.
Soluzione
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Troviamo gli zeri del numeratore e del denominatore, dove nel nostro esempio abbiamo che gli zeri del denominatore x = ± 1 2
Ora devi tracciare i punti sulla linea numerica e determinare il segno della derivata seconda da ciascun intervallo. Lo capiamo
Risposta:
- la funzione è convessa dall'intervallo - 1 2 ; 12;
- la funzione è concava dagli intervalli - ∞ ; - 1 2 e 1 2; + ∞ .
Definizione 4
Punto di flesso– questo è un punto della forma x 0 ; f(x0) . Quando ha una tangente al grafico della funzione, allora quando passa per x 0 la funzione cambia segno in senso opposto.
In altre parole, questo è un punto attraverso il quale passa la derivata seconda e cambia segno, e nei punti stessi è uguale a zero o non esiste. Tutti i punti sono considerati il dominio della funzione.
Nell'esempio era chiaro che non ci sono punti di flesso, poiché la derivata seconda cambia segno passando per i punti x = ± 1 2. A loro volta non rientrano nell'ambito della definizione.
Trovare gli asintoti orizzontali e obliqui
Quando si definisce una funzione all'infinito, è necessario cercare gli asintoti orizzontali e obliqui.
Definizione 5
Asintoti obliqui sono rappresentati utilizzando le linee rette date dall'equazione y = k x + b, dove k = lim x → ∞ f (x) x e b = lim x → ∞ f (x) - k x.
Per k = 0 e b diverso da infinito, troviamo che l'asintoto obliquo diventa orizzontale.
In altre parole, gli asintoti sono considerati rette alle quali il grafico di una funzione si avvicina all'infinito. Ciò facilita la costruzione rapida di un grafico di funzione.
Se non ci sono asintoti, ma la funzione è definita ad entrambi gli infiniti, è necessario calcolare il limite della funzione a questi infiniti per capire come si comporterà il grafico della funzione.
Esempio 6
Consideriamo come esempio quello
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
è un asintoto orizzontale. Dopo aver esaminato la funzione, puoi iniziare a costruirla.
Calcolo del valore di una funzione nei punti intermedi
Per rendere il grafico più accurato, si consiglia di trovare diversi valori di funzione nei punti intermedi.
Esempio 7
Dall'esempio che abbiamo considerato, è necessario trovare i valori della funzione nei punti x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Poiché la funzione è pari, otteniamo che i valori coincidono con i valori in questi punti, cioè otteniamo x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Scriviamo e risolviamo:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Per determinare i massimi e i minimi della funzione, i punti di flesso e i punti intermedi, è necessario costruire asintoti. Per una comoda designazione, vengono registrati intervalli di aumento, diminuzione, convessità e concavità. Diamo un'occhiata all'immagine qui sotto.
È necessario tracciare delle linee del grafico attraverso i punti contrassegnati, che ti permetteranno di avvicinarti agli asintoti seguendo le frecce.
Questo conclude l'esplorazione completa della funzione. Esistono casi di costruzione di alcune funzioni elementari per le quali vengono utilizzate trasformazioni geometriche.
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Da qualche tempo il database dei certificati per SSL integrato in TheBat ha smesso di funzionare correttamente (non è chiaro per quale motivo).
Quando si controlla il post, viene visualizzato un errore:
Certificato CA sconosciuto
Il server non ha presentato un certificato root nella sessione e il certificato root corrispondente non è stato trovato nella rubrica.
Questa connessione non può essere segreta. Per favore
contatta l'amministratore del tuo server.
E ti viene offerta una scelta di risposte: SÌ / NO. E così ogni volta che rimuovi la posta.
Soluzione
In questo caso è necessario sostituire lo standard di implementazione S/MIME e TLS con Microsoft CryptoAPI nelle impostazioni di TheBat!
Poiché avevo bisogno di unire tutti i file in uno solo, ho prima convertito tutti i file doc in un unico file pdf (utilizzando il programma Acrobat), quindi li ho trasferiti su fb2 tramite un convertitore online. Puoi anche convertire i file individualmente. I formati possono essere assolutamente qualsiasi (fonte): doc, jpg e persino un archivio zip!
Il nome del sito corrisponde all'essenza :) Photoshop online.
Aggiornamento maggio 2015
Ho trovato un altro fantastico sito! Ancora più comodo e funzionale per creare un collage completamente personalizzato! Questo è il sito http://www.fotor.com/ru/collage/. Divertitevi per la vostra salute. E lo userò io stesso.
Nella mia vita mi sono imbattuto nel problema della riparazione di una stufa elettrica. Ho già fatto molte cose, ho imparato molto, ma in qualche modo ho avuto poco a che fare con le piastrelle. È stato necessario sostituire i contatti sui regolatori e sui bruciatori. Sorse la domanda: come determinare il diametro del bruciatore su una stufa elettrica?
La risposta si è rivelata semplice. Non è necessario misurare nulla, puoi facilmente determinare a occhio quale taglia ti serve.
Bruciatore più piccolo- questo è 145 millimetri (14,5 centimetri)
Bruciatore centrale- questo è 180 millimetri (18 centimetri).
E infine, il massimo bruciatore di grandi dimensioni- questo è 225 millimetri (22,5 centimetri).
È sufficiente determinare la dimensione a occhio e capire quale diametro è necessario per il bruciatore. Quando non lo sapevo, ero preoccupato per queste dimensioni, non sapevo come misurare, su quale bordo navigare, ecc. Ora sono saggio :) Spero di aver aiutato anche te!
Nella mia vita ho affrontato un problema del genere. Penso di non essere l'unico.
